Tutoria 1: Distribuciones de Probabilidad (Discretas y Continuas)

Resumen Ejecutivo

Esta sesión profundizó en la aplicación práctica de distribuciones estadísticas clave. Se analizó detalladamente la Distribución de Poisson (ajuste de parámetros temporales y cálculo de probabilidades), se contrastó con la Binomial, y se estudió el manejo de Distribuciones Continuas (Uniforme y Normal), haciendo énfasis en la tipificación y el uso correcto de tablas estadísticas.

🗝️ Conceptos Clave

Lambda ($\lambda$) en Poisson: Representa la media de eventos en un intervalo específico. Es lineal (si duplicas el tiempo, duplicas $\lambda$).
Variable Discreta vs. Continua: En discretas, $P(X < x)$ es diferente a $P(X \le x)$. En continuas, la probabilidad de un punto exacto es 0.
Complementario: Herramienta vital para calcular probabilidades de "mayor que" ($P(X > k) = 1 - P(X \le k)$).
Tipificación ($Z$): Proceso de convertir una Normal cualquiera ($N(\mu, \sigma)$) en la Normal Estándar ($N(0,1)$).
Corrección de Continuidad (Yates): Ajuste de $\pm 0.5$ necesario al aproximar una Binomial mediante una Normal.

📝 Desarrollo del Temario

1. La Distribución de Poisson

La distribución de Poisson modela eventos raros o conteos en un intervalo de tiempo/espacio.

Fórmulas Fundamentales

La probabilidad de que ocurran exactamente $x$ eventos es: $$P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}$$ Donde: * $\lambda$: Número medio de ocurrencias en el intervalo. * $x$: Número de ocurrencias que buscamos calcular.

Caso Práctico: Centro de Venta Telefónica

El Escenario: Un centro tiene 4 vendedores. En promedio realizan 4 ventas por hora (entre todos). Objetivo: Calcular la probabilidad de "alguna venta" (1 o más).

1. Ajuste del Lambda ($\lambda$): El profesor enfatiza que no se puede usar el mismo $\lambda$ para distintos periodos. * Si la media es 1 venta por periodo (ej. 15 min), $\lambda = 1$. * Si el periodo es 1 hora (4 periodos), $\lambda = 4$.

2. Cálculo de "Alguna venta" ($P(X \ge 1)$): Al ser una distribución discreta, sumar probabilidades hasta el infinito es imposible. Usamos el suceso complementario (lo contrario a "ninguna venta").

\[P(X \ge 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X=0)\]

Sustituyendo en la fórmula con $\lambda=1$: $$1 - \frac{e^{-1} \cdot 1^0}{0!} = 1 - \frac{1}{e} \approx 0.6321$$

¡OJO AL DATO! ⚠️ (Punto Crítico de Examen): El profesor advierte: Es más probable que haya 1 venta en 15 minutos a que haya 4 o más ventas en 60 minutos, aunque la proporción parezca la misma. No extrapoléis probabilidades directamente, recalcula siempre con el nuevo $\lambda$.

2. Manejo de Desigualdades en Variables Discretas

Este fue un punto de confusión recurrente en la clase. En distribuciones discretas (Poisson, Binomial), el signo "igual" importa mucho.

Mayor o igual ($\ge$): Incluye el número.
- $P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3)$ (Restamos hasta el 3 porque el 4 lo queremos dentro).
Mayor estricto ($>$): No incluye el número.
- $P(X > 5) = 1 - P(X \le 5)$ (Restamos el 5 porque NO lo queremos).
Entre dos valores ($a \le X \le b$):
- Fórmula: $P(X \le b) - P(X \le a-1)$.
- Ejemplo: Entre 4 y 8 (ambos incluidos): $P(X \le 8) - P(X \le 3)$.

Ejemplo de Ahogados (Cambio de Escala): Dato: 3 ahogados cada 100.000 habitantes. Pregunta: Probabilidad de 8 ahogados en una población de 200.000. Paso 1: Ajustar Lambda. Si en 100k son 3, en 200k $\lambda = 6$. Paso 2: Calcular $P(X=8)$ usando la fórmula de Poisson con $\lambda=6$.

3. Distribuciones Continuas: Uniforme y Normal

A diferencia de las discretas, en las continuas la probabilidad de un punto exacto es 0 ($P(X=k) = 0$). Por tanto, $P(X \le k)$ es lo mismo que $P(X < k)$.

Distribución Uniforme

Se define en un intervalo $[a, b]$. * Media: $\frac{a+b}{2}$ * Varianza: $\frac{(b-a)^2}{12}$ * Probabilidad: Se calcula como áreas de rectángulos.

Distribución Normal y Tipificación

Para usar las tablas estadísticas (que están basadas en la Normal Estándar $N(0,1)$), debemos transformar nuestra variable $X$ en $Z$.

Fórmula de Tipificación: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

Ejemplo Cooperativa Aceitera: * Media ($\mu$) = 50 litros. * Desviación típica ($\sigma$) = 0.4. * Pregunta: Probabilidad de menos de 49 litros ($P(X < 49)$).

Proceso: $$Z = \frac{49 - 50}{0.4} = \frac{-1}{0.4} = -2.5$$ Buscamos en tablas $P(Z < -2.5)$.

4. Uso de Tablas de la Normal (Casos Especiales)

Las tablas suelen dar el área a la izquierda (acumulada) de valores positivos. El profesor explicó cómo gestionar los casos que no salen directos:

Valor Negativo ($Z < -a$):
- Por simetría, es igual al área a la derecha de $a$: $P(Z > a)$.
- Como la tabla da el acumulado (izquierda): $1 - P(Z \le a)$.
Mayor que ($Z > a$):
- Es el complementario del acumulado: $1 - P(Z \le a)$.
Entre dos valores ($a < Z < b$):
- $P(Z \le b) - P(Z \le a)$.
Valor absoluto ($|X| > a$):
- Significa que $X$ está en las "colas" (muy positivo o muy negativo).
- Se desglosa en: $P(X > a) + P(X < -a)$.

¡OJO AL DATO!: Si un valor exacto (ej. 0.80) no está en la tabla, se debe interpolara entre los valores más cercanos (0.79 y 0.81) para obtener mayor precisión.

5. Aproximación de Binomial a Normal

Cuando $n$ es grande y $p$ no es extremo (cerca de 0 o 1), la Binomial se parece a una Normal.

Nuevos Parámetros:
- $\mu = n \cdot p$
- $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
Corrección de Continuidad (¡Vital!): Al pasar de barras discretas a una línea continua, debemos "ensanchar" el intervalo en 0.5.
- Si piden $P(X=k) \rightarrow P(k - 0.5 < X < k + 0.5)$.
- Si piden $P(3 \le X \le 6) \rightarrow P(2.5 \le X \le 6.5)$.

🧠 Preguntas de Autoevaluación

Poisson y Tiempo: Si la tasa media de llegada de clientes es de 2 clientes cada 10 minutos ($\lambda=2$), ¿cuál es el valor de $\lambda$ si queremos calcular la probabilidad para una hora completa?
Discretas: Estás calculando una Poisson. Te piden la probabilidad de obtener "menos de 5 éxitos". ¿Qué probabilidad acumulada buscas en la fórmula o tabla: $P(X \le 5)$ o $P(X \le 4)$? ¿Por qué?
Tipificación: Tienes una normal $N(100, 15)$. Quieres calcular $P(X > 115)$. Al tipificar, ¿qué valor de $Z$ obtienes y cómo buscas esa probabilidad ("mayor que") en una tabla estándar?
Aproximación: Si vas a aproximar una Binomial por una Normal y te piden la probabilidad de obtener exactamente 50 caras en 100 lanzamientos, ¿qué intervalo debes usar tras aplicar la corrección de continuidad?
Interpretación: ¿Por qué en una distribución continua (como medir el tiempo exacto de carga) la probabilidad de que tarde exactamente 1.25 segundos es 0?