Tema 7: Distribuciones de Variables Continuas

0. Resumen Ejecutivo

Esta sesión marca el paso de variables discretas (saltos) a continuas (intervalos), centrándose en las tres distribuciones más críticas para la ingeniería y la economía: Uniforme, Normal y T de Student. El dominio de la "Tipificación" (pasar de una Normal cualquiera a la Estándar $Z$) y el manejo de tablas estadísticas son las habilidades prácticas fundamentales para aprobar. Además, se introduce el Teorema Central del Límite, que justifica por qué casi todo en la naturaleza tiende a comportarse como una curva normal.

1. Conceptos Clave

Variable Aleatoria Continua: Aquella que puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo (ej. tiempo, estatura).
Función de Densidad ($f(x)$): Describe la probabilidad relativa; en continuas, la probabilidad de un punto exacto siempre es 0 ($P(X=x)=0$). El área bajo la curva representa la probabilidad.
Distribución Normal Estándar ($Z$): Una normal con media 0 y desviación típica 1 ($N(0,1)$). Es la base para usar las tablas.
Tipificación: Proceso de transformar una variable $X$ en $Z$ para poder calcular su probabilidad usando tablas estandarizadas.
Corrección de Continuidad: Ajuste necesario (sumar/restar 0.5) al aproximar una distribución discreta (Binomial) mediante una continua (Normal).

2. Desarrollo del Temario

2.1. Distribución Uniforme (La "Constante")

Es la distribución más simple. Se da cuando la probabilidad es constante para todos los valores dentro de un intervalo $[a, b]$.

Función de Densidad: Es una línea horizontal. $$f(x) = \frac{1}{b-a} \quad \text{si } a \le x \le b$$
Función de Distribución (Acumulada): Es una línea recta creciente. $$F(x) = \frac{x-a}{b-a}$$
Estadísticos Clave:
- Media ($\mu$): El punto medio del intervalo: $\frac{a+b}{2}$.
- Varianza ($\sigma^2$): $\frac{(b-a)^2}{12}$.

Ejemplo del Profesor: Si el tiempo de carga de un programa está entre 1 y 5 segundos (Uniforme en [1, 5]): * Probabilidad de que sea exactamente 1.25s es 0 (porque es continua). * Probabilidad de que sea menor a 1.25s: Se calcula el área del rectángulo o se usa la fórmula acumulada: $\frac{1.25 - 1}{5 - 1} = 0.0625$.

2.2. Distribución Normal (La "Campana de Gauss")

Es la distribución más importante porque la mayoría de los fenómenos naturales tienden a ella. Se define por su media ($\mu$) y su desviación típica ($\sigma$).

La Campana y sus Propiedades

Es simétrica respecto a la media.
Concentración de valores (Regla empírica):
- $\mu \pm \sigma$ abarca el 68% de los datos.
- $\mu \pm 2\sigma$ abarca el 95.5%.
- $\mu \pm 3\sigma$ abarca el 99.7%.

Normal Estándar y Tipificación

Como existen infinitas normales ($N(\mu, \sigma)$), para calcular probabilidades transformamos nuestra variable $X$ a la variable estándar $Z \sim N(0,1)$.

\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\]

¡OJO AL DATO! Manejo de Tablas (Puntos Críticos de Examen)

El profesor enfatizó mucho cómo leer la tabla, especialmente con valores negativos, ya que las tablas suelen dar solo la cola izquierda positiva.

Probabilidad directa ($Z \le \text{positivo}$): Se busca directo en la tabla (fila y columna). Ej: $P(Z \le 0.21) = 0.5832$.
Probabilidad inversa ($Z \ge \text{positivo}$): Es el complemento. $1 - P(Z \le \text{positivo})$.
Probabilidad de negativo ($Z \le \text{negativo}$): Por simetría, es igual a $Z \ge \text{positivo}$, que a su vez es $1 - P(Z \le \text{positivo})$.

Truco de Simetría: Si te piden $P(Z \le -0.21)$, visualmente es la cola izquierda pequeña. Es equivalente a la cola derecha pequeña ($Z \ge 0.21$). Como la tabla te da el área grande acumulada, haces: $1 - \text{valor de tabla}(0.21)$.

2.3. Aproximaciones y Teorema Central del Límite (TCL)

El TCL establece que la suma de muchas variables aleatorias independientes tiende a distribuirse como una normal, sin importar la distribución original.

De Binomial a Normal: Si tenemos una Binomial $B(n,p)$ y $n$ es grande (tal que $np \ge 5$ y $n(1-p) \ge 5$), la aproximamos a una Normal: * $\mu = np$ * $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$

¡OJO AL DATO!: Corrección de Continuidad Al pasar de una variable discreta (barras) a una continua (línea), debemos "ensanchar" el intervalo. * Si te piden $P(X \le 50)$, en la normal calculas $P(X \le 50.5)$. * Si te piden $P(X < 50)$, en la normal calculas $P(X \le 49.5)$. * Regla: Restar 0.5 al límite inferior y sumar 0.5 al superior.

2.4. Distribución T de Student

Se usa cuando no podemos usar la Normal. ¿Cuándo ocurre esto? 1. La muestra es pequeña ($n < 30$). 2. Desconocemos la desviación típica de la población ($\sigma$) y usamos la de la muestra ($s$).

Grados de Libertad ($\nu$): Es el parámetro clave para buscar en la tabla. Se calcula como $\nu = n - 1$.
Fórmula: Es idéntica a la tipificación normal, pero usando $s$ (desviación muestral) en lugar de $\sigma$: $$t = \frac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}}$$

Nota del Profesor: La T de Student es más "achatada" que la Normal (tiene colas más pesadas), lo que refleja mayor incertidumbre por tener pocos datos.

3. Preguntas de Autoevaluación

Teoría: ¿Por qué en una distribución continua $P(X = 5)$ es siempre 0?
- Respuesta: Porque en variables continuas la probabilidad se mide como un área bajo la curva. Un punto exacto es una línea sin ancho, por lo tanto, su área es 0. Se debe calcular la probabilidad en un intervalo.
Cálculo: Si tienes una variable $X \sim N(10, 2)$, ¿cuál es el valor $Z$ tipificado para $x=13$?
- Respuesta: $Z = \frac{13 - 10}{2} = 1.5$. Buscaríamos 1.5 en la tabla estándar.
Concepto: ¿Cuándo debes elegir la T de Student en lugar de la Normal para hacer inferencia?
- Respuesta: Cuando el tamaño de la muestra es pequeño ($n < 30$) o cuando se desconoce la desviación típica poblacional.
Aproximación: Si vas a aproximar una Binomial a una Normal, y te piden la probabilidad de obtener "menos de 40 éxitos" ($X < 40$), ¿qué valor usas tras la corrección de continuidad?
- Respuesta: "Menos de 40" en discreto significa 39 o menos. El intervalo continuo debe incluir el 39 completo, por lo que el límite superior sería 39.5. (Ojo: $X < 40$ es igual a $X \le 39$, por tanto corregimos a 39.5).