Tema 6: Distribución de Variables Discretas (Poisson)

Asignatura: Estadística | Tema: 6

📝 Resumen Ejecutivo

En esta sesión se abordó la Distribución de Poisson, fundamental para modelar sucesos "raros" u ocasionales que ocurren en un intervalo continuo de tiempo o espacio. Se definió su función de probabilidad, caracterizada por un único parámetro ($\lambda$), y se destacó su propiedad única donde la media es igual a la varianza. Finalmente, se explicó cómo utilizar Poisson para aproximar una distribución Binomial bajo ciertas condiciones de tamaño de muestra y probabilidad.

🔑 Conceptos Clave

Sucesos Raros: Eventos que ocurren ocasionalmente en comparación con la no ocurrencia (ej. una llamada a un call center vs. el silencio habitual).
Intervalo Continuo: El marco donde ocurren los eventos (tiempo, longitud, área).
Lambda ($\lambda$): Número promedio de ocurrencias en dicho intervalo.
Independencia: La ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de que ocurra otro (si esto falla, el modelo de Poisson no sirve).

📘 Desarrollo del Temario

1. Definición y Contexto de la Distribución de Poisson

La distribución de Poisson modela el número de veces que ocurre un evento en un intervalo determinado.

Condiciones Necesarias: 1. Probabilidad de suceso ocasional: La probabilidad de ocurrencia es pequeña comparada con la no ocurrencia. 2. Probabilidad Constante: La tasa de ocurrencia (velocidad) no cambia durante el intervalo. 3. Independencia: Los sucesos no se influyen entre sí.

Explicación del Profesor: "No es que sean sucesos extraños o 'perros verdes', sino que es una cosa puntual dentro de un proceso regular. [...] Por ejemplo, en un Call Center, lo normal no es que estén llamando todo el tiempo a la vez; si eso pasa, el sistema falla. Lo habitual es el silencio interrumpido por llamadas."

Ejemplos de Aplicación : * Llamadas en un Call Center. * Llegada de coches a un peaje o garaje. * Errores en una línea de código o defectos en fabricación. * Alertas Tempranas: En sistemas estables (como centrales nucleares), una alarma es un evento Poisson.

2. Cuándo el Modelo de Poisson FALLA (Importante)

El profesor hizo mucho énfasis en interpretar qué significa cuando los datos dejan de seguir una Poisson.

¡OJO AL DATO! 🧐 Si en una fábrica la tasa de defectos pasa del 1% al 2% o crece desmesuradamente, ya no es un proceso aleatorio de Poisson. Indica un fallo sistémico (máquina rota) o un cambio de fase.

Ejemplo Físico: En el agua líquida hay intercambio molecular (Poisson). Pero si la actividad aumenta sin parar, indica que el agua está hirviendo (cambio de estado líquido a vapor). El error en el cálculo matemático es la alerta de que el sistema físico ha cambiado .

3. Función de Probabilidad y Fórmulas

Si una variable aleatoria $X$ sigue una distribución de Poisson, se denota como $X \sim Poisson(\lambda)$.

Fórmulas Esenciales :

Función de Masa de Probabilidad (Para calcular una probabilidad exacta): $$P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}$$ Donde $e \approx 2.71828$, $\lambda$ es el promedio de ocurrencias y $x$ es el número de ocurrencias buscado.
Media (Esperanza Matemática): $$E[X] = \mu = \lambda$$
Varianza: $$\sigma^2 = \lambda$$
Desviación Típica: $$\sigma = \sqrt{\lambda}$$

Nota del Profesor: "La Poisson es muy sencilla operativamente porque no hay que recordar casi nada: la media y la varianza son lo mismo ($\lambda$)".

4. Uso de Tablas Estadísticas

El profesor explicó cómo obtener probabilidades sin calculadora usando tablas estandarizadas (como la del método de "Hundir la flota").

Buscas $\lambda$ en la fila superior (columnas).
Buscas $x$ (el valor de la variable) en la columna izquierda.
La intersección te da la probabilidad acumulada $P(X \le k)$ (o puntual, depende de la tabla).
- Advertencia: Fíjate bien si la tabla te da $P(X=k)$ o $P(X \le k)$ (acumulada). Habitualmente es la acumulada.

5. Aproximación de Binomial a Poisson

Podemos usar Poisson para resolver problemas de Binomial ($B(n, p)$) si el cálculo binomial es demasiado engorroso, siempre que se cumplan dos condiciones:

$n$ es grande: $n \ge 100$.
$p$ es pequeña: $p \le 0.05$.

Transformación: Convertimos los parámetros Binomiales a Poisson usando: $$\lambda = n \cdot p$$

Ejemplo de Clase (Libros Defectuosos) : * Datos: 4% defectos ($p=0.04$), lote de 100 libros ($n=100$). Buscar probabilidad de 2 defectuosos. * Cálculo Binomial: Muy largo ($0.1450$). * Cálculo Poisson: $\lambda = 100 \cdot 0.04 = 4$. $$P(X=2) = \frac{e^{-4} \cdot 4^2}{2!} \approx 0.1465$$ * Conclusión: La diferencia es mínima ($0.0015$), por lo que la aproximación es válida y mucho más rápida.

6. Ejercicios Prácticos Resueltos en Clase

A. El Call Center (Cambio de Intervalo)

Enunciado: Promedio de 4 ventas/hora. 1. Probabilidad de alguna venta en 15 min: * Ajustar $\lambda$: Si son 4 en 60 min, en 15 min (cuarto de hora) $\lambda = 1$. * "Alguna venta" significa $X \ge 1$. * Estrategia: Calcular por el suceso contrario (ninguna venta). * $$P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \frac{e^{-1}\cdot 1^0}{0!} = 1 - e^{-1} \approx 0.6321$$

Probabilidad de 4 o más ventas en 1 hora:
- Aquí $\lambda = 4$ (intervalo completo).
- \[P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) = 1 - [P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]\]

B. El Supermercado (Cálculo Inverso)

Enunciado: 1 cliente/minuto. Compra media $50. Queremos recaudar $100 con una seguridad del 80%. * Para recaudar $100 necesitamos al menos 2 clientes. * Buscamos el tiempo ($t$) necesario para que $P(X \ge 2) \ge 0.80$.

Proceso iterativo (Prueba y error explicado por el profesor): 1. Prueba con 2 minutos ($\lambda = 2$): * $P(X \ge 2) = 1 - [P(0) + P(1)]$. * Resultado: $\approx 0.59$ (59%). No llega al 80%. 2. Prueba con 3 minutos ($\lambda = 3$): * $P(X \ge 2) = 1 - [P(0) + P(1)]$ usando $\lambda=3$. * $P(0) = e^{-3} \approx 0.049$. * $P(1) = 3e^{-3} \approx 0.149$. * $P(X \ge 2) = 1 - (0.049 + 0.149) = 1 - 0.199 = \mathbf{0.801}$. * Conclusión: Se necesitan 3 minutos para asegurar con un 80% de probabilidad que entrarán al menos 2 clientes (recaudando $100).

🧠 Preguntas de Autoevaluación

Teoría: ¿Cuál es la relación matemática exacta entre la media ($\mu$) y la varianza ($\sigma^2$) en una distribución de Poisson?
Cálculo: Si $\lambda = 3$ defectos por hora, ¿cómo plantearías la ecuación para calcular la probabilidad de que haya exactamente 2 defectos en una hora?
Concepto: Si analizamos el tráfico en una autopista y de repente la tasa de coches se triplica y se mantiene constante en ese nuevo nivel alto, ¿podemos seguir usando el mismo modelo Poisson original? ¿Por qué?
Aproximación: Tienes una Binomial con $n=200$ y $p=0.01$. ¿Es recomendable aproximarla a Poisson? ¿Cuánto valdría $\lambda$?
Interpretación: En un ejercicio te piden $P(X \ge 1)$. ¿Por qué es más eficiente calcular $1 - P(X=0)$ que sumar las probabilidades directas?