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Tema 5: Distribuciones de Variables Discretas (Uniforme y Binomial)

📝 Resumen Ejecutivo

Esta sesión establece las bases de las funciones de probabilidad discretas, diferenciando entre sucesos observados (\(\bar{x}\)) y valores esperados teóricos (\(\mu\)). Se centra en dos modelos fundamentales: la Distribución Uniforme (todos los valores equiprobables) y la Distribución Binomial (conteo de éxitos en \(n\) intentos), pasando por la Bernoulli como bloque constructor. El profesor enfatiza la importancia de distinguir correctamente la variable aleatoria del suceso físico.

🔑 Conceptos Clave

  • Variable Aleatoria Discreta: Toma valores en un conjunto finito o numerable.
  • Función de Probabilidad (\(f\) minúscula): Asigna la probabilidad a un valor concreto (\(P(X=x)\)).
  • Función de Distribución (\(F\) mayúscula): Representa la probabilidad acumulada hasta un punto (\(P(X \le x)\)).
  • Esperanza Matemática (\(\mu\) o \(E[X]\)): El valor medio esperado teóricamente si el experimento se repitiera infinitas veces.

1. Fundamentos y Notación (El "Truco" del Profesor)

Antes de entrar en las distribuciones, es vital entender la notación. El profesor ofreció una regla mnemotécnica crucial para no confundirse en el examen:

¡OJO AL DATO! Regla Mnemotécnica * \(f\) (minúscula): Función de densidad o probabilidad. Es la "pequeña", para un punto concreto. * \(F\) (Mayúscula): Función de Distribución. La letra es "más grande" porque acumula (suma o integra) lo anterior.

Diferencia entre Media Muestral y Esperanza

  • \(\bar{x}\) (Media aritmética): Es un valor que ya se ha producido (datos observados).
  • \(\mu\) (Esperanza \(E[X]\)): Es un valor esperado a priori, un promedio teórico.

2. Distribución Uniforme Discreta

Definición

Se utiliza cuando todos los valores que puede tomar la variable tienen la misma probabilidad de ocurrir (son equiprobables) o se asume esa hipótesis por desconocimiento.

  • Parámetro: \(n\) (número de valores posibles).
  • Probabilidad: Cada valor tiene probabilidad \(1/n\).

Fórmulas Clave

$\(P(X=x_i) = \frac{1}{n}\)$ $\(F(x) = P(X \le x) = \frac{i}{n}\)$ (donde \(i\) es la posición del valor acumulado).

Estadísticos

  • Esperanza (\(E[X]\)): \(\mu = \frac{1}{n} \sum x_i\) (Promedio de los valores posibles).
  • Varianza (\(V[X]\)): \(\sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2\).

Nota del Profesor sobre la Varianza: En clase se realizó la demostración matemática larga de la fórmula de la varianza, pero el profesor aclaró explícitamente: "Esto no lo vamos a preguntar". Céntrate en saber aplicar la fórmula final: Esperanza de los cuadrados menos el cuadrado de la esperanza.

Ejemplo Práctico: El Dado Equilibrado

  • Variable: Resultado de lanzar un dado (\(n=6\)).
  • \(P(X=1) = 1/6\).
  • \(F(x \le 2) = 1/6 + 1/6 = 2/6\) (Acumulada).

3. Distribución de Bernoulli

Es el paso previo a la Binomial. Se caracteriza por realizar el experimento una única vez.

Características

  1. Experimento único.
  2. Solo dos resultados posibles: Éxito (1) o Fracaso (0).
  3. Probabilidad de éxito constante: \(p\). Probabilidad de fracaso: \(q = 1-p\).

¡OJO AL DATO! Definición de "Éxito" El "éxito" no siempre es algo positivo. Es simplemente lo que el investigador está buscando medir (ej: un tornillo defectuoso puede ser el "éxito" si esa es la variable de estudio).

Fórmulas Bernoulli

  • Probabilidad: \(f(x) = p^x (1-p)^{1-x}\)
  • Esperanza: \(E[X] = p\)
  • Varianza: \(\sigma^2 = p(1-p)\)

4. Distribución Binomial (\(B(n, p)\))

Esta distribución surge cuando repetimos el experimento de Bernoulli \(n\) veces de forma independiente.

Características

  1. El experimento se realiza \(n\) veces fijas.
  2. Solo dos resultados (Éxito/Fracaso).
  3. Los sucesos son independientes (lo que pase en el primer intento no afecta al segundo).
  4. La probabilidad \(p\) es constante.

Fórmulas Maestras

Función de Probabilidad: $\(P(X=x) = \binom{n}{x} \cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x}\)$

  • \(\binom{n}{x}\): Número combinatorio (formas de elegir \(x\) éxitos en \(n\) intentos).
  • \(p^x\): Probabilidad de los éxitos.
  • \((1-p)^{n-x}\): Probabilidad de los fracasos restantes.

Estadísticos: * Esperanza: \(E[X] = n \cdot p\) * Varianza: \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p)\)

Consejo de Cálculo: Para calcular el número combinatorio \(\binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}\), el profesor recomienda simplificar antes de multiplicar. Ejemplo: \(\binom{10}{8}\). En lugar de calcular \(10!\), desarrolla \(10 \times 9 \times 8!\) y cancela el \(8!\) del denominador.

5. Ejercicios Tipo Examen (Análisis de Casos)

Caso 1: Interpretación de Enunciados (Semáforos)

  • Enunciado: Un semáforo tiene fases: Parar (48%), Pasar (48%), Esperar (4%). Cruzamos 6 semáforos. ¿Probabilidad de tener que "esperar o parar"?
  • Análisis:
    1. Convertir a Binomial: Éxito = "Esperar o Parar".
    2. Probabilidad Éxito (\(p\)): \(0.48 + 0.04 = 0.52\).
    3. Modelo: \(X \sim B(6, 0.52)\).

Caso 2: "Al menos" y "Como máximo"

  • Pregunta: Probabilidad de al menos 2 éxitos en 10 intentos (\(n=10\)).
  • Estrategia: Calcularlo directamente (\(P(2)+P(3)+...+P(10)\)) es muy largo.
  • Atajo: Usar el suceso contrario. $\(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]\)$

Caso 3: Dado NO Equilibrado

  • Trampa: Si el enunciado dice "dado no equilibrado, probabilidad de sacar 6 es 0.3", NO uses \(1/6\). Debes usar el dato que te dan (\(p=0.3\)).
  • Modelo: \(B(15, 0.3)\).

🧠 Preguntas de Autoevaluación

  1. Verdadero o Falso: En una distribución Uniforme Discreta con valores del 1 al 10, la probabilidad de \(X=5\) es mayor que la de \(X=10\).
  2. Si lanzamos una moneda trucada (\(p=0.7\) de cara) 5 veces, ¿qué distribución usamos y cuáles son sus parámetros?
  3. ¿Cuál es la diferencia conceptual entre \(\bar{x}\) (media) y \(\mu\) (esperanza)?
  4. Calcula mentalmente \(\binom{5}{4}\) usando la lógica de simplificación de factoriales.