Tema 4: Variables Aleatorias y sus Funciones

📝 Resumen Ejecutivo

Esta sesión introduce el concepto de Variable Aleatoria (V.A.) como una función matemática que transforma resultados experimentales en números reales. Se establece la distinción crítica entre variables discretas (contables, usan sumatorios) y continuas (intervalos, usan integrales). Finalmente, se aprende a modelar comportamientos mediante las funciones de probabilidad/densidad (el valor puntual) y de distribución (el valor acumulado).

🔑 Conceptos Clave

Variable Aleatoria (X): Función $X:E\longrightarrow\mathbb{R}$ que asigna un número real a cada resultado del espacio muestral.
V.A. Discreta (VAD): Toma valores finitos o numerables (ej. caras de un dado).
V.A. Continua (VAC): Toma valores infinitos en un intervalo (ej. estatura, tiempo).
Función de Probabilidad ($p_i$): Probabilidad puntual en discretas.
Función de Densidad ($f(x)$): "Masa" de probabilidad en continuas.
Función de Distribución ($F(x)$): Probabilidad acumulada ($P(X \le x)$).

📘 Desarrollo del Temario

1. Variables Aleatorias (V.A.)

Una variable aleatoria es una regla que asocia un número a cada resultado de un experimento.

Definición Formal: Dado un espacio muestral $E$, la variable $X$ transforma los resultados $\omega$ en números reales: $\forall\omega\in E,$ $X(\omega)\in\mathbb{R}$.

Ejemplo del Profesor: Si lanzas un dado, el espacio muestral son las caras (físicas), pero la variable aleatoria transforma eso en números: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Si lanzas una moneda, la variable podría asignar 0 a Cruz y 1 a Cara.

2. Tipos de Variables y sus Funciones

El tratamiento matemático depende de si podemos "contar" los valores o no.

A. Variable Aleatoria Discreta (VAD)

Los valores se pueden enumerar (1, 2, 3...). * Función de Probabilidad ($P(x)$): Asigna la probabilidad a un valor concreto $x_i$. * Propiedades: $0 \le p_i \le 1$ y la suma de todas las probabilidades $\sum p_i = 1$. * Función de Distribución ($F(x)$): Es la suma acumulada. * Fórmula: $F(x) = P(X \le x) = \sum_{u \le x} f(u)$.

B. Variable Aleatoria Continua (VAC)

Los valores no se pueden numerar, hablamos de intervalos (densidad). * Función de Densidad ($f(x)$): Equivalente continuo a la función de probabilidad. Se usa la integral en lugar de la suma. * Propiedades: $f(x) \ge 0$ y el área total bajo la curva debe ser 1 ($\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$). * Función de Distribución ($F(x)$): * Fórmula: $F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(u) du$.

💡 Truco Mnemotécnico del Profesor: * Densidad (palabra pequeña) se denota con $f$ minúscula. Es la función que nos dan en el enunciado. * Distribución (palabra grande) se denota con $F$ mayúscula. Se asocia a "acumular", "sumar" o "integrar".

3. Cálculo de Probabilidades: Ejemplos Prácticos

Caso Discreto: El Dado y las Monedas

Si $X$ es el resultado de lanzar un dado: * La probabilidad de cada cara es $1/6$. * La suma total $\sum P(x) = 1$.

Ejemplo Monedas (3 lanzamientos): Variable $Y =$ número de caras. * Espacio muestral (8 casos): $\{CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX\}$. * $P(Y=0) = 1/8$ (Solo XXX). * $P(Y=1) = 3/8$ (Hay 3 casos con una cara). * $P(Y=2) = 3/8$. * $P(Y=3) = 1/8$. * Distribución Acumulada: Se van sumando. Para $Y=1$, la acumulada es $P(0) + P(1) = 1/8 + 3/8 = 4/8$.

Caso Continuo: Integrales

El profesor enfatiza que en el examen trabajaremos con funciones sencillas (polinomios), nada de "integrales monstruosas" ni por partes complejas.

Ejemplo Clave: $f(x) = \frac{x}{2}$ en el intervalo $[0, 2]$ 1. Comprobación de Densidad: ¿El área suma 1? $$\int_{0}^{2} \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{1}{2} (\frac{4}{2} - 0) = 1$$ Resultado: Sí, es una función de densidad válida.

Cálculo de la Función de Distribución $F(x)$: Debemos integrar desde el límite inferior (0) hasta un valor genérico $x$. $$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{u}{2} du = \left[ \frac{u^2}{4} \right]_0^x = \frac{x^2}{4}$$ Nota: El profesor sugiere cambiar la variable de integración a $u$ ($f(u)du$) para no confundirla con el límite superior $x$.

4. Cálculo de Probabilidades Acumuladas

Para calcular la probabilidad en un intervalo $[a, b]$, usamos la función de distribución acumulada.

Fórmula General: $P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$.
En Discretas: Hay que tener cuidado con los signos $\le$ o $<$.
- Ejemplo: $P(1 \le X \le 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$.
- Alternativa: $F(3) - F(0)$ (la acumulada hasta 3 menos lo que hay antes del 1).

5. Ejercicios Resueltos (Enfoque Examen)

Ejercicio de "Función a Trozos" (Importante)

Sea $f(x)$ definida como: * $x$ si $0 \le x < 1$ * $1/2$ si $1 \le x \le 2$ * 0 en otro caso.

Para calcular la Distribución $F(x)$: Se integra por tramos acumulando lo anterior.

Tramo 1 ($0 \le x < 1$): $$F(x) = \int_{0}^{x} u du = \frac{x^2}{2}$$ Al final del tramo (x=1), acumulamos $1/2$.
Tramo 2 ($1 \le x \le 2$): $$F(x) = (\text{Acumulado Tramo 1}) + \int_{1}^{x} \frac{1}{2} du$$ $$F(x) = \frac{1}{2} + \left[ \frac{u}{2} \right]_1^x = \frac{1}{2} + \frac{x-1}{2} = \frac{x}{2}$$ (Nota: El profesor corrige en vivo y aclara que se suma lo acumulado previamente).

⚠️ ¡OJO AL DATO! (Notas para el Examen)

Sin Software: El examen es a mano, no se usará RStudio. Las cuentas serán accesibles ("números fáciles").
"Puntos Regalados": Si preguntan "Comprobar si es función de densidad", solo tienes que hacer la integral definida en el intervalo y verificar que da 1. Si da diferente, no es función de densidad.
Cambio de Variable: Al calcular $F(x)$, acostúmbrate a escribir $\int f(u)du$ para no liar la $x$ del límite con la $x$ de la función.
Dominio: Fuera del intervalo definido, la probabilidad es 0. Esto simplifica mucho las integrales definidas.

✅ Preguntas de Autoevaluación

¿Cuál es la diferencia fundamental en el cálculo de la Función de Distribución ($F(x)$) entre una variable discreta y una continua?
- Respuesta: En la discreta se usa el sumatorio ($\sum$) de las probabilidades puntuales; en la continua se usa la integral ($\int$) de la función de densidad.
Si tenemos una función de densidad $f(x) = k \cdot x$ definida en $[0, 2]$, ¿cómo hallamos el valor de $k$?
- Respuesta: Planteamos la integral $\int_{0}^{2} kx dx = 1$. Resolvemos: $k[\frac{x^2}{2}]_0^2 = 1 \Rightarrow k(2) = 1 \Rightarrow k = 0.5$.
¿Qué valor toma siempre la Función de Distribución $F(x)$ en el límite superior de su dominio (infinito o el máximo valor posible)?
- Respuesta: Siempre toma el valor 1, ya que representa la probabilidad acumulada del 100% del espacio muestral.
En una variable continua, ¿cuál es la probabilidad de que la variable tome un valor EXACTO (ej. $P(X=2)$)?
- Respuesta: Es 0. En variables continuas, la probabilidad se calcula sobre intervalos (áreas), no sobre puntos singulares (una línea no tiene área).