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Tema 3: Probabilidad

📝 Resumen Ejecutivo

En esta sesión se introducen los fundamentos de la teoría de la probabilidad, partiendo de la Regla de Laplace y las propiedades de conjuntos. Se profundiza en la probabilidad condicionada y la independencia de sucesos, culminando con el Teorema de Bayes y el concepto de Verosimilitud (MLE). La clase tiene un fuerte enfoque práctico, resolviendo múltiples ejercicios de urnas, dados y monedas para ilustrar la diferencia entre muestreo con y sin reposición.

🗝️ Conceptos Clave

  • Experimento Aleatorio: Prueba cuyo resultado no se puede predecir con certeza (ej. lanzar un dado).
  • Espacio Muestral (\(E\)): Lista exhaustiva de todos los resultados posibles.
  • Suceso: Subconjunto del espacio muestral (uno o varios resultados).
  • Regla de Laplace: Fórmula básica para sucesos equiprobables (Favorables / Posibles).
  • Probabilidad Condicionada: Probabilidad de \(A\) sabiendo que \(B\) ya ha ocurrido.
  • Independencia: Cuando la ocurrencia de un suceso no aporta información sobre otro.
  • Teorema de Bayes: Permite calcular la probabilidad a posteriori basándose en información previa (a priori).
  • Verosimilitud (Likelihood): Estimación de parámetros probabilísticos basada en datos observados empíricamente.

📘 Desarrollo del Temario

1. Concepto de Probabilidad y Propiedades

La probabilidad es un parámetro que mide la frecuencia relativa de ocurrencia de un suceso. Matemáticamente, debe cumplir que \(0 \le P(S_i) \le 1\) y que la suma de todas las probabilidades del espacio muestral sea 1.

Regla de Laplace

Es la piedra angular para casos donde todos los resultados tienen la misma probabilidad (equiprobables): $\(P(S) = \frac{\text{número de casos favorables}}{\text{número de casos posibles}}\)$

⚠️ Advertencia sobre la lógica probabilística: El profesor utilizó un anuncio de televisión antiguo (con Cindy Crawford) para ilustrar errores comunes. El anuncio sugería una probabilidad de 50/50 ("o está acompañada o no lo está"). * Lección: No se puede simplificar la probabilidad a dos opciones si estas no son equiprobables ni tienen en cuenta factores condicionantes externos.

Propiedades Fundamentales

  • Unión: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Si son incompatibles (intersección vacía), no se resta nada.
  • Complementario: \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\).
  • Leyes de De Morgan (¡Muy Importante!): El profesor hizo énfasis en visualizar esto con diagramas de Venn.
    • El complementario de la unión es la intersección de los complementarios: $\(P(\overline{A \cup B}) = P(\overline{A} \cap \overline{B})\)$
    • El complementario de la intersección es la unión de los complementarios: $\(P(\overline{A \cap B}) = P(\overline{A} \cup \overline{B})\)$

2. Probabilidad Condicionada

Se define como la probabilidad de que ocurra \(A\) asumiendo que ya ha ocurrido \(B\). El espacio muestral se reduce a \(B\).

Fórmula: $\(P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad \text{con } P(B) > 0\)$

Truco del Profesor: Imagina la barra vertical (\(/\)) como una señal que te dice "esto ya pasó". La intersección va arriba y el suceso que está detrás de la barra (el condicionante) va siempre en el denominador.

3. Dependencia e Independencia

Dos sucesos son independientes si el hecho de que ocurra uno no afecta la probabilidad del otro.

  • Condición Matemática: \(A\) y \(B\) son independientes si: $\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)$
  • Consecuencia: Si son independientes, la probabilidad condicionada es igual a la original: \(P(A/B) = P(A)\).

Ejemplo de la moneda: Si lanzas una moneda y sale cara, la probabilidad de que salga cara en el segundo lanzamiento sigue siendo 1/2. La moneda "no tiene memoria", son sucesos independientes.

4. Teorema de Bayes

Es una herramienta para calcular una probabilidad condicionada "inversa" o a posteriori. Relaciona causas y efectos.

Fórmula: $\(P(A/B) = \frac{P(B/A) \cdot P(A)}{P(B)}\)$

  • \(P(A)\): Probabilidad a priori (lo que sabemos antes).
  • \(P(A/B)\): Probabilidad a posteriori (actualizada tras conocer el suceso B).

5. Verosimilitud (Likelihood)

El profesor explicó este concepto al final de la clase, aunque aparezca antes en el índice. Se trata de inferir la probabilidad real basándose en resultados observados.

  • Concepto: Si lanzas una moneda 100 veces y salen 75 caras, lo más verosímil (aunque la moneda teóricamente sea 50/50) es asumir que la probabilidad de cara de esa moneda específica es 0,75.
  • Aplicación: Se utiliza el Estimador de Máxima Verosimilitud (EMV o MLE) para encontrar el parámetro que hace más probable los datos observados.

✍️ Ejercicios Prácticos Resueltos en Clase

El profesor dedicó gran parte de la clase a explicar la mecánica de resolución de problemas.

A. Lanzamiento de Monedas (Espacio Muestral)

Al listar el espacio muestral de 3 monedas (CCC, CCX...), es vital llevar un orden para no olvidar ninguno. * Consejo: Tratar los resultados como "palabras" y ordenarlos alfabéticamente o fijar el primer elemento y variar los siguientes. * Visualización: El Diagrama de Árbol es la herramienta más eficaz aquí para seguir las rutas favorables.

B. Extracción de Bolas (Con vs. Sin Devolución)

Ejemplo de una urna con 4 bolas (Blanca, Roja, Verde, Negra) y se sacan 2. 1. Con devolución (Reemplazo): La bola vuelve a la urna. * Son Variaciones con Repetición (\(VR_{4,2} = 4^2 = 16\)). * Los sucesos son Independientes. 2. Sin devolución (No reemplazo): La bola no vuelve. * Son Variaciones Ordinarias (\(V_{4,2} = 4 \times 3 = 12\)). * Los sucesos son Dependientes (la segunda extracción tiene menos opciones).

C. Dados y "Octopussy" (Suma de puntos)

Se lanzan dos dados. * Suma Par: 18 casos favorables de 36 posibles (\(P=0.5\)). * Múltiplo de 3: 12 casos favorables (3, 6, 9, 12) de 36 posibles (\(P=1/3\)).

Anécdota Ilustrativa: El profesor mencionó la película de James Bond Octopussy donde usan dados cargados. Esto ilustra que la probabilidad teórica (Laplace) falla si el dado está manipulado físicamente (verosimilitud empírica vs. teórica).

D. Probabilidad Condicionada (Tenis)

Datos: 70% mujeres (10% juegan tenis), 30% hombres (20% juegan tenis). * Pregunta: Si elegimos a alguien con raqueta (T), ¿probabilidad de que sea hombre (H)? * Resolución: $\(P(H/T) = \frac{P(T/H) \cdot P(H)}{P(T)}\)$ $\(P(H/T) = \frac{0,2 \cdot 0,3}{0,13} \approx 0,46\)$ (Nota: \(P(T)\) es la probabilidad total de jugar tenis: \(0,07\) (mujeres) + \(0,06\) (hombres) = \(0,13\)).

⚠️ ¡OJO AL DATO! (Notas de corrección)

  1. Errata en Diapositivas: En el ejercicio 1 de las diapositivas, al calcular \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\), la diapositiva puede ser confusa. El profesor aclaró que se debe aplicar De Morgan: \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)\).
  2. Entregas: Para las prácticas de R Studio, no es necesario enviar el archivo .zip. Basta con capturas de pantalla del código y los resultados pegadas en un Word.

🧪 Preguntas de Autoevaluación

  1. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre sucesos incompatibles e independientes?
    • Pista: Los incompatibles no pueden ocurrir a la vez (\(A \cap B = \emptyset\)), mientras que los independientes ocurren sin afectarse mutuamente.
  2. Si extraigo una carta de una baraja y NO la devuelvo al mazo antes de sacar la segunda, ¿los sucesos son dependientes o independientes?
    • Respuesta: Dependientes, porque el espacio muestral cambia para la segunda extracción (51 cartas en lugar de 52).
  3. Según la Regla de Laplace, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número par al lanzar un dado equilibrado?
    • Respuesta: 3 casos favorables (2, 4, 6) entre 6 posibles = 3/6 = 0.5.
  4. Aplica De Morgan: ¿A qué es equivalente el suceso "No (A Unión B)"?
    • Respuesta: A "No A" Intersección "No B".